Determinan & Invers Matriks

-

Nama: Regina Ratna Dewita

Kelas: XI IPS 2

Absen: 24

 Determinan Matriks

Determinan suatu matriks didefinisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder.  Determinan matriks hanya dapat ditentukan pada matriks persegi. Determinan dari matriks A dapat dituliskan det(A) atau |A|.

Untuk menentukan determinan dari sebuah matriks, terdapat dua aturan berdasarkan ordonya, yaitu ordo 2x2 dan ordo 3x3.

Determinan  Matriks Ordo 2x2

Determinan matriks persegi dengan ordo 2x2 dapat dihitung dengan cara berikut:

Determinan  Matriks Ordo 3x3

Determinan matriks persegi dengan ordo 3x3 dapat dihitung dengan menggunakan dua cara, yaitu kaidah Sarrus dan ekspansi kofaktor. Namun, cara yang paling sering digunakan dalam menentukan determinan matriks ordo 3x3 adalah dengan kaidah Sarrus.

Langkah-langkah mencari determinan matriks ordo 3x3 dengan kaidah Sarrus:

1. Meletakkan kolom pertama dan kolom kedua di sebelah kanan garis vertikal determinan.
2. Jumlahkan hasil kali elemen-elemen yang terletak pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen yang sejajar diagonal utama pada arah kanan kemudian kurangi dengan jumlah hasil kali elemen-elemen yang terletak pada diagonal samping dengan elemen-elemen yang sejajar dengan diagonal samping.

|A| = (a.e.i) + (b.f.g) +( c.d.h) – (c.e.g) – (a.f.h) – (b.d.i)

|A| = (a.e.i + b.f.g + c.d.h) – (c.e.g + a.f.h + b.d.i)

 

Invers Matriks

Invers matriks adalah kebalikan (invers) dari sebuah matriks yang apabila matriks tersebut dikalikan dengan inversnya, akan menjadi matriks identitas. Invers matriks dilambangkan dengan A-1. Suatu matriks dikatakan memiliki invers jika determinan dari matriks tersebut tidak sama dengan nol.

Untuk menentukan invers dari sebuah matriks, terdapat dua aturan berdasarkan ordonya, yaitu ordo 2x2 dan ordo 3x3.

Invers  Matriks Ordo 2x2

Invers matriks persegi dengan ordo 2x2 dapat dicari dengan cara sebagai berikut:

Invers  Matriks Ordo 3x3

Untuk mencari invers matriks pada ordo 3x3, dapat digunakan metode eliminasi Gauss Jordan

.Secara sistematis, eliminasi Gauss Jordan dapat dinyatakan sebagai berikut:




Matriks persegi A dieliminasi menggunakan operasi aljabar sampai membentuk matriks identitas. Operasi yang dilakukan pada matriks A juga dilakukan pada matriks identitas sehingga jika matriks A sudah menjadi matriks identitas, maka matriks identitas akan berubah menjadi invers dari matriks A.

Soal Kontekstual 
Arman membeli 5 pensil dan 3 penghapus, sedangkan Susi membeli 4 pensil dan 2 penghapus di toko yang sama. Di kasir, Arman membayar Rp 11.500,00 sedangkan Susi membayar Rp 9.000,00. Jika Dodi membeli 6 pensil dan 5 penghapus, berapa ia harus membayar?
Persoalan ini dapat diselesaikan menggunakan dua cara.
Jika  maka dengan cara
Cara pertama, yakni cara invers, diperoleh .



Penyelesaian
Dimisalkan harga satuan pensil = x dan harga satuan penghapus = y. Disusun ke dalam sistim persamaan linear dua variabel (SPLDV)
5x + 3y = 11.500
4x + 2y = 9.000
Sistim persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, yakni

Cara Pertama (Invers Matriks)


   dan 


Diperoleh harga satuan pensil Rp 2.000 dan harga satuan penghapus Rp 500.
Jadi, Dodi harus membayar [6 x Rp 2.000] + [5 x Rp 500] = Rp 14.500


Cara Kedua (Determinan Matriks)









Jadi, Dodi harus membayar [6 x Rp 2.000] + [5 x Rp 500] = Rp 14.500.


Contoh Soal Determinan Matriks 2: 

Contoh soal determinan matriks yang kedua ini punya angka yang sama dengan yang pertama, tapi cara yang diminta berbeda, yaitu dengan menggunakan metode minor-kofaktor.

Contoh soal determinan matriks dengan pembahasan menggunakan metode minor kofaktor (Arsip Zenius)
Contoh soal determinan matriks dengan pembahasan menggunakan metode minor kofaktor (Arsip Zenius) 

Pembahasan: 

Oke, seperti yang udah gue jelasin tentang metode minor kofaktor di bagian rumus determinan matriks. 

Cara pertama adalah elo lihat angka pada baris paling atas, kemudian ambil determinannya, jadinya akan seperti ini: 

Determinan Matriks dan Metode Penyelesaiannya 106


Contoh Soal Determinan Matriks 1:

Contoh soal determinan matriks dengan pembahasan menggunakan metode Sarrus. (Arsip Zenius) 
Contoh soal determinan matriks dengan pembahasan menggunakan metode Sarrus. (Arsip Zenius) 

Pembahasan:

Dengan menggunakan metode Sarrus maka cara perhitungannya seperti elo menganyam (nama lain metode ini), yakni dengan menambahkan dua ruas di sisi kanan, seperti berikut:

Determinan Matriks dan Metode Penyelesaiannya 105

Arah panah ke kiri (panah orange) = -10, 0, 0

Arah panah ke kanan (panah ungu) = 0, 6, 0

Determinan adalah ruas kanan – ruas kiri = (0+6+0) – (-10+0+0) = 16



AB^{-1} = \begin {bmatrix}-34 & 13 \\ 21 & -8 \end {bmatrix}

Contoh soal 6 (Un 2018 IPS)

Diketahui matriks A = \begin {bmatrix}1 & -2 \\ -1 & 3 \end {bmatrix} dan B = \begin {bmatrix}2 & 1 \\ -1 & -1 \end {bmatrix}. Invers dari matriks AB adalah…

Pembahasan / penyelesaian soal

AB = \begin {bmatrix}1.2 + -2.-1 & 1.1 + -2.-1 \\ -1.2+3.-1 & -1.1+3.-1 \end {bmatrix}
AB = \begin {bmatrix}4 & 3 \\ -5 & -4 \end {bmatrix}

Selanjutnya diperoleh a = 4, b = 3, c = -5 dan d = -4, maka invers AB sebagai berikut:

AB^{-1} = \frac {1}{4.-4 - 3.-5} \begin {bmatrix}-4 & -3 \\ 5 & 4 \end {bmatrix}
AB^{-1} = \begin {bmatrix}-4 & -3 \\ 5 & 4 \end {bmatrix}

Contoh soal 7 (UN 2018 IPA)

Diketahui matriks A = \begin {bmatrix}2 & 3 \\ 1 & 2 \end {bmatrix} dan B = \begin {bmatrix}1 & 2 \\ -1 & 1 \end {bmatrix}. Matriks (AB)-1 adalah…

Pembahasan \ penyelesaian soal

Hitung terlebih dahulu matriks AB seperti nomor 6 dan hasilnya sebagai berikut:

AB = \begin {bmatrix}2.1+3.-1 & 2.2+3.1 \\ 1.1 + 2.-1 & 1.2 + 2.1 \end {bmatrix}
AB = \begin {bmatrix}-1 & 7 \\ -1 & 4 \end {bmatrix}

Maka invers dari matriks AB adalah:

AB^{-1} = \frac {1}{-1.4 - 7.-1} \begin {bmatrix}4 & -7 \\ 1 & -1 \end {bmatrix}
AB^{-1} = \frac {1}{3} \begin {bmatrix}4 & -7 \\ 1 & -1 \end {bmatrix}

Contoh soal 8 (UN IPA 2018)

Diketahui matriks A = \begin {bmatrix}-1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end {bmatrix} dan B = \begin {bmatrix}2 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 1 \end {bmatrix}. Jika matriks C = AB, invers C adalah C-1 = …

Pembahasan / penyelesaian soal

Matriks C = AB sebagai berikut:

AB = \begin {bmatrix}-1.2 + 1.1 + 0.1 & -1.1 + 1.-1 + 0.1 \\ 1.2 + -1.1 + 1.1 & 1.1 + -1.-1 + 1.1 \end {bmatrix}
AB = \begin {bmatrix}-1 & -2 \\ 2 & 3 \end {bmatrix}

Maka invers C sebagai berikut:

C^{-1} = \frac {1}{-1.3 - -2.2} \begin {bmatrix}3 & 2 \\ -2 & -1 \end {bmatrix}
C^{-1} = \begin {bmatrix}3 & 2 \\ -2 & -1 \end {bmatrix}


Daftar Pustaka:

https://www.ilmusosial.id/2020/06/contoh-soal-cerita-matriks-dan.html
https://brainly.co.id/tugas/1476814

https://akupintar.id/info-pintar/-/blogs/matriks-pengertian-operasi-determinan-invers-dan-contoh-soal

https://www.google.com/amp/s/soalfismat.com/contoh-soal-invers-matriks-dan-pembahasannya/amp/

https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://www.zenius.net/blog/determinan-matriks&ved=2ahUKEwjijJrB3ZD5AhXmaGwGHbxYA8YQFnoECEAQAQ&usg=AOvVaw2eDOC3fQ6-ptHvJFqrOSmR

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Turunan Fungsi Aljabar

-
Gambar
REGINA RATNA DEWITA XI IPS 2 ____________________ Pengertian Turunan Fungsi Aljabar Turunan fungsi aljabar adalah fungsi baru hasil penurunan pangkat dari fungsi sebelumnya menurut aturan yang telah ditetapkan. Jika diimplementasikan di dalam grafik fungsi, turunan ini merupakan gradien garis singgung terhadap grafik di titik tertentu. Tingkat turunan fungsi tidak terbatas pada satu tingkat saja, tetapi juga bisa dua tingkat, tiga tingkat, dan seterusnya. Konsep turunan setiap tingkatnya juga sama. Hanya saja, fungsi yang diturunkan berbeda-beda karena mengacu pada hasil turunan sebelumnya. Konsep Turunan Fungsi Aljabar Pada dasarnya, turunan fungsi aljabar merupakan bentuk lain dari suatu limit fungsi yang nilainya mendekati nol. Misalnya saja, seseorang berkendara menggunakan motor dengan kecepatan 60 km/jam. Saat berkendara, apakah orang tersebut bisa mengondisikan untuk tetap berada di kecepatan itu? Tentu tidak, kan? Lalu, apa artinya 60 km/jam? Kecepatan tersebut merupakan kecepa
Baca selengkapnya

Integral Fungsi Aljabar

-
Gambar
Regina Ratna Dewita XI IPS 2  ABSEN; 25 Integral Fungsi Aljabar 1. Integral tak tentu dan sifat-sifatnya Integral tak tentu adalah integral yang tidak memiliki batas-batas nilai tertentu. Perhatikan contoh soal integral berikut ini . Tentukan: a. Hitunglah ʃ 2 dx b. Tentukan nilai dari ʃ x dx jawaban: a. Turunan dari 2x + C adalah 2. Jadi, ʃ 2 dx = 2x + C. b. Turunan dari 1/2 x2 + C adalah x. Jadi, ʃ x dx = 1/2 x2 + C. 2) Tentukan nilai integral berikut ini! a. ʃ 4 dx b. ʃ x2 dx c. ʃ 6x2 dx d. ʃ (x + 2)2 dx e. ʃ (4x2+ 2x - 1) dx Jawaban: a. ʃ 4 dx = 4x + C b. ʃ x2 dx = ... jawaban contoh soal integral tak tentu 2b Foto: Repro buku kumpulan soal Think Smart Matematika c. ʃ 6x2 dx = jawaban contoh soal integral tak tentu 2c Foto: Repro buku kumpulan soal Think Smart Matematika d. ʃ (x + 2)2 dx = ʃ (x2 + 4x + 4) dx = ʃ x2 dx + ʃ 4x dx + ʃ4 dx = 1/3 x3 + 2x2 + 4x + C. e. ʃ (4x2+ 2x - 1) dx = ʃ 4x2 dx + ʃ 2x dx - ʃ 1 dx = 4/3 x3 + x2 - x + C.   2. Teknik Pengintegralan Dalam memecahkan/meny
Baca selengkapnya

Program Linear

-
Gambar
NAMA : REGINA RATNA DEWITA XI IPS 2 ABSEN : 24   PROGRAM LINEAR Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Konsep persamaan dan sistem persamaan linear dua variabel sudah kamu pelajari. Prinsip yang ada pada sistem persamaan juga kita gunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan atau sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Prinsip yang dimaksud adalah menentukan nilai variabel yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear tersebut. Definisi Pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan yang berbentuk ax  +  by  +  c  < 0 ax  +  by  +  c  ≤ 0 ax  +  by  +  c  > 0 ax  +  by  +  c  ≥ 0 dengan: a, b  : koefisien ( a  ≠ 0 , b  ≠ 0 , a,b  ∈  R ) c  : konstanta ( c  ∈  R ) x, y  : variabel ( x, y  ∈  R ) Contoh Tentukan himpunan penyelesaian dan gambarkan grafik untuk setiap pertidaksamaan di bawah ini.  –2 x  +  y  > 5, untuk  x  dan  y  semua bilangan real Alternatif Penyelesaian Dengan menguji nilai-nilai  x  dan  y  yang memenuhi – 2 x  +  y  > 5 , maka dapat ditemukan banyak
Baca selengkapnya