Barisan dan Deret

REGINA RATNA DEWITA

KELAS: XI IPS 2

---------------------------------------------------

A. Barisan dan Deret Aritmatika

barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang memiliki beda yang sama sehingga menghasilkan pola tetap. Contoh bentuk barisan aritmatika bisa dilihat di bawah ini:

Bentuk barisan aritmatika

Nah, dari contoh di atas bisa dilihat bahwa suatu barisan aritmatika akan berbentuk seperti ini: 

U1, U1 +b, U1 +2b, U1 +3b, …… sampai n suku. 

Suku pertama adalah U1 atau a, selisihnya adalah b, dan n adalah jumlah suku. 

Ada beberapa rumus yang terkait dengan barisan aritmatika yang bisa gunakan untuk menghitung suku ke-n, jumlah, atau cara mencari beda (b) dari suatu barisan aritmatika.

Rumus barisan aritmatika bisa dilihat di bawah ini:

Rumus barisan aritmatika

Un = suku ke-n

U1 = a = suku pertama (ke-1) dalam barisan aritmatika 

b = beda

n = suku ke-

Nah, setelah memahami cara mencari suku ke-n dalam suatu barisan aritmatika, elo juga bisa mencari beda (b) pada barisan aritmatika dengan menggunakan rumus berikut ini: 

Rumus beda pada barisan aritmatika

DERET ARITMATIKA adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan.

Nilai suku pertama dilambangkan dengan a. Sedangkan, selisih atau beda antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu b. Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan arimatika dapat dihitung dengan rumus berikut.

Rumus deret aritmatika

Sn = jumlah n suku pertama
U1 = a = suku pertama (ke-1) dalam barisan aritmatika
b = beda
n = banyak suku dalam barisan aritmatika 

B. Barisan dan Deret Geometri

Barisan geometri adalah pola yang memiliki pengali atau rasio yang tetap untuk setiap 2 suku yang berdekatan. Rasio pada barisan geometri biasa disimbolkan dengan r. Barisan geometri juga biasa disebut sebagai barisan ukur.

Contoh lebih mudahnya begini, misal kamu punya barisan seperti ini:

1, 3, 9, 27, …

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat dihitung dengan rumus berikut.

Sedangkan, deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri.

Penjumlahan dari suku-suku pertama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung dengan rumus berikut.

dengan syarat r < 1

atau

dengan syarat r > 1

C. Bunga, Penyusutan, Pertumbuhan dan Peluruhan. Bunga dan Anuitas.

Bunga tunggal adalah bunga yang diberikan hanya untuk sejumlah uang ditabungkan (modal awal/pinjaman awal) sedangkan bunganya tidak berbunga. Beberapa produk yang menggunakan bunga tunggal diantaranyadeposito (yang tidak otomatis), obligasi ritel, dan sukuk. Bila modal awal bernilai Mo, bunga p per periode, dan n banyaknya periode, maka:

Bunga majemuk adalah bunga yang diberikan tidak hanya pada uang yang ditabungkan tetapi bunganya juga. Modal/hutang periode berikutnya merupakan modal/hutang sebelumnya ditambah dengan bunga. Kebanyakan sistem tabungan di bank menggunakan bunga majemuk. Ikuti penjabaran konsep bunga majemuk berikut.

pertumbuhan yaitu pertambahan atau  kenaikan nilai suatu besaran terhadap besaran yang sebelumnya yang umumnya mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). 

Contoh dari pertumbuhan misalnya perkembangbiakan amoeba dan pertumbuhan penduduk.

Rumus pertumbuhan linear;

Sedangkan rumus pertumbuhan eksponensial;

Keterangan;

P_n = nilai besaran setelah n periode

P₀ = nilai besaran pada awal periode

b = tingkat pertumbuhan

n = banyaknya periode pertumbuhan

Peluruhan yaitu berkurangnya nilai atau penurunan suatu besaran terhadap nilai besaran yang sebelumnya, yang umumnya mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). Peluruhan misalnya, peluruhan zat radioaktif dan penurunan harga jual mobil.

Rumus peluruhan linear;

Rumus peluruhan eksponensial;

Keterangan;

P_n = nilai besaran setelah n periode

P₀ = nilai besaran pada awal periode

b = tingkat peluruhan

n = banyaknya periode pertumbuhan

Anuitas yaitu sistem pembayaran atau penerimaan secara berurutan dengan jumlah serta waktu yang tetap /tertentu. Apabila sebuah pinjaman dikembalikan secara anuitas, maka ada tiga hal yang menjadi dasar dari perhitungannya, yakni;

1. Besarnya pinjaman,

2. Besarnya bunga, dan 

3, besarnya waktu serta jumlah periode pembayaran

Anuitas diberikan secara tetap untuk tiap akhir periode yang fungsinya membayar bunga atas hutang, dan mengangsur hutang itu sendiri, sehingga perhitungannya;

Anuitas = Bunga atas hutang + Angsuran hutang

Jika hutang sebesar M₀ = Memperoleh bunga sebesar b per bulannya dengan anuitas sebesar A, maka bisa ditentukan:

Besarnya bunga pada periode ke-n;

Besar angsuran pada akhir periode ke-n: ditentukan dengan;

dan sisa hutang pada akhir periode ke-n;

Contoh Soal 1

Pada sebuah deret geometri diketahui bahwa suku pertamanya adalah 3 dan suku ke-9 adalah 768. Suku ke-7 deret tersebut adalah…

Pembahasan:

Diketahui: a = 3

Ditanya: 

Jawab:

Sebelum kita mencari nilai dari  , kita akan mencari nilai r terlebih dahulu.

Ingat kembali bahwa  sehingga   dapat ditulis menjadi

Sehingga,

Jadi, suku ke-7 deret tersebut adalah 192

Contoh Soal ke 2

Diketahui suku ke-5 dari barisan geometri adalah 243, hasil bagi suku ke-9 dengan suku ke-6 adalah 27. Suku ke-2 dari barisan tersebut adalah…

Pembahasan

Dalam contoh soal barisan dan deret geometri di atas, diketahui 

Ditanya  
Jawab:

Sebelum kita mencari nilai dari , kita akan mencari nilai a dan r terlebih dahulu.

Ingat kembali  maka

Substitusikan r = 3 ke persamaan  

sehingga

= 9

Jadi, suku ke-2 dari barisan tersebut adalah 9.

Contoh Soal 3

Contoh Soal 4

Modal sebesar Rp. 800.000,00 disimpan di bank dengan suku bunga tunggal 15% setahun. Hitunglah besarnya bunga setelah 5 tahun dan Hitunglah besarnya bunga setelah 2 bulan 8 hari. Berapakah nilai akhir modal itu setelah disimpan selama 10 bulan ?

Jawab:

Diketahui :

M = 800.000

p = 15

Bunga (B) setelah 5 tahun (n= 5), maka

Jadi, besarnya bunga setelah 5 tahun adalah Rp. 600.000,00.

Besar bunga setelah 2 bulan 8 hari.

Tempo/lama simpanan dijadikan hari semua. Dalam soal tidak diketahui umur tahun dalam hari, maka dianggap 1 tahun = 360 hari sehingga

t = 68 hari, maka.

Catatan: Penyebut 36.000 pada rumus diatas didapat dari 360 hari x 100

Nilai akhir modal adalah jumlah yang disimpan berikut bunga simpanan setelah jangka waktu tertentu. Dalam hal ini jangka waktunya adalah 10 bulan. Atas hal tersebut, lebih dahulu harus dicari bungaya setelah 10 bulan (b = 10).

Nilai akhir modal dalam rupiah (Na) setelah 10 bulan adalah :

Na     =     M + B

Na     =     800.000 + 100.000

Na     =     900.000

Jadi, besarnya nilai akhir modal itu setelah 10 bulan adalah

Rp. 900.000,00.

---------------------------------------------------

Daftar Pustaka

https://www.zenius.net/blog/materi-soal-barisan-deret-aritmatika

https://www.google.com/amp/s/m.kumparan.com/amp/berita-terkini/contoh-soal-bunga-tunggal-dan-pembahasannya-1ylFIPV7lnX

https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://www.ruangguru.com/blog/barisan-dan-deret-geometri&ved=2ahUKEwiGuY3ihqj8AhUS1jgGHWEWCIwQFnoECBUQAQ&usg=AOvVaw1kBHsz5YM1wOYJxNeoPFUK

https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://www.zenius.net/blog/contoh-soal-barisan-dan-deret-geometri&ved=2ahUKEwiGuY3ihqj8AhUS1jgGHWEWCIwQtwJ6BAhEEAE&usg=AOvVaw3EwoWfpGfUVe9WoCvQRhCV

Modul Matematika Kelas 11