Turunan Fungsi Aljabar

REGINA RATNA DEWITA

XI IPS 2

____________________

Pengertian Turunan Fungsi Aljabar

Turunan fungsi aljabar adalah fungsi baru hasil penurunan pangkat dari fungsi sebelumnya menurut aturan yang telah ditetapkan. Jika diimplementasikan di dalam grafik fungsi, turunan ini merupakan gradien garis singgung terhadap grafik di titik tertentu. Tingkat turunan fungsi tidak terbatas pada satu tingkat saja, tetapi juga bisa dua tingkat, tiga tingkat, dan seterusnya. Konsep turunan setiap tingkatnya juga sama. Hanya saja, fungsi yang diturunkan berbeda-beda karena mengacu pada hasil turunan sebelumnya.

Konsep Turunan Fungsi Aljabar

Pada dasarnya, turunan fungsi aljabar merupakan bentuk lain dari suatu limit fungsi yang nilainya mendekati nol. Misalnya saja, seseorang berkendara menggunakan motor dengan kecepatan 60 km/jam. Saat berkendara, apakah orang tersebut bisa mengondisikan untuk tetap berada di kecepatan itu? Tentu tidak, kan? Lalu, apa artinya 60 km/jam? Kecepatan tersebut merupakan kecepatan rata-rata. Secara matematis, dirumuskan sebagai berikut.

Ingat, posisi orang tersebut (s) selalu berubah setiap waktu (t). Artinya, posisi bisa dinyatakan sebagai fungsi waktu (s₂ = f(t) ). Nah, t₂ merupakan waktu setelah bergerak selama h atau t₂ = t₁ + h. Jika disubstitusikan ke persamaan kecepatan rata-rata menjadi:

Untuk nilai h yang sangat kecil, h bisa dinyatakan mendekati nol (h → 0). Apa artinya? Jika nilai h mendekati nol, akan berlaku fungsi kecepatan sesaat seperti berikut.

Persamaan di atas merupakan bentuk laju perubahan jarak terhadap waktu atau turunan fungsi jarak terhadap waktu.

Jika diterapkan pada sembarang f(x), akan berlaku laju perubahan f(x) terhadap x atau turunan pertama f(x) terhadap x (f’(x)), sehingga persamaannya menjadi:

Rumus Turunan Fungsi Aljabar

Persamaan turunan yang memuat fungsi limit efektif digunakan untuk persamaan fungsi linear atau pangkat 1. Namun, rumus tersebut kurang efektif jika digunakan pada persamaan fungsi aljabar yang derajat polinomnya lebih dari 1 (pangkat lebih dari 1). Untuk itu, kamu bisa menggunakan rumus-rumus berikut.

f(x) = b → f’(x) = 0

Suatu konstanta akan bernilai nol jika diturunkan, contoh f(x) = 15 → f’(x) = 0.

f(x) = bx → f’(x) = b

Jika variabel x diturunkan terhadap x, akan menghasilkan 1. Contoh:

f(x) = x → f’(x) = 1
f(x) = 2x → f’(x) = 2
f(x) = 5x – 3 →f’(x) = 5

f(x) = axⁿ→ f’(x) = nax^n-1

Rumus di atas berlaku untuk turunan fungsi pangkat, ya. Saat menurunkan suatu fungsi, artinya kamu sedang mencari turunan pangkat dari fungsi tersebut atau pangkatnya menjadi lebih kecil. Misal, jika variabel x² diturunkan terhadap x, maka derajat variabelnya akan berkurang 1 menjadi x. Jika variabel x³ diturunkan terhadap x, maka derajat variabelnya akan berkurang 1 menjadi x² dan seterusnya. Perhatikan contoh berikut.

f(x) = 6x⁴ + 2x³ → f’(x) = (4)(6)x³ + (3)(2)x²

= 24x³ + 6x²

Turunan fungsi aljabar juga bisa dinyatakan dalam bentuk notasi Leibniz seperti berikut.

Bagaimana Quipperian, mudah bukan turunan fungsi aljabar itu?

Sifat-Sifat Turunan Fungsi Aljabar

Turunan fungsi aljabar memiliki sifat-sifat tertentu yang nantinya bisa memudahkanmu dalam menyelesaikan soal-soal. Berikut ini sifat-sifat turunan fungsi aljabar.

Sifat di atas berlaku pada penjumlahan atau pengurangan dua fungsi atau lebih. Perhatikan contoh berikut.

Sifat di atas berlaku untuk turunan hasil kali fungsi, contohnya pada perkalian antara fungsi u(x) dan v(x). Perhatikan contoh berikut.

Sifat di atas berlaku untuk turunan fungsi pembagian, contoh pembagian antara fungsi u(x) dan v(x). Perhatikan contoh berikut.

Perhatikan contoh berikut.

Sifat di atas merupakan aturan rantai turunan fungsi aljabar. Selain menurunkan fungsi yang dipangkatkan, kamu juga harus menurunkan keseluruhan fungsinya.