Integral Fungsi Aljabar

-
Regina Ratna Dewita
XI IPS 2 
ABSEN; 25

Integral Fungsi Aljabar


1. Integral tak tentu dan sifat-sifatnya
Integral tak tentu adalah integral yang tidak memiliki batas-batas nilai tertentu.


Perhatikan contoh soal integral berikut ini.

Tentukan:

a. Hitunglah ʃ 2 dx

b. Tentukan nilai dari ʃ x dx


jawaban:

a. Turunan dari 2x + C adalah 2.

Jadi, ʃ 2 dx = 2x + C.


b. Turunan dari 1/2 x2 + C adalah x.

Jadi, ʃ x dx = 1/2 x2 + C.

2) Tentukan nilai integral berikut ini!

a. ʃ 4 dx

b. ʃ x2 dx

c. ʃ 6x2 dx

d. ʃ (x + 2)2 dx

e. ʃ (4x2+ 2x - 1) dx


Jawaban:

a. ʃ 4 dx = 4x + C

b. ʃ x2 dx = ...

jawaban contoh soal integral tak tentu 2b Foto: Repro buku kumpulan soal Think Smart Matematika

c. ʃ 6x2 dx =

jawaban contoh soal integral tak tentu 2c Foto: Repro buku kumpulan soal Think Smart Matematika


d. ʃ (x + 2)2 dx = ʃ (x2 + 4x + 4) dx

= ʃ x2 dx + ʃ 4x dx + ʃ4 dx

= 1/3 x3 + 2x2 + 4x + C.


e. ʃ (4x2+ 2x - 1) dx = ʃ 4x2 dx + ʃ 2x dx - ʃ 1 dx

= 4/3 x3 + x2 - x + C.

 

2. Teknik Pengintegralan

Dalam memecahkan/menyelesaikan masalah integral tak tentu terutama untuk beberapa fungsi yang belum tercantum pada laman Primitif Fungsi, diperlukan teknik-teknik tertentu yang selanjutnya disebut teknik pengintegralan. Pada kesempatan kali ini akan dibahas mengenai salah satu teknik pengintegralan yang dikenal dengan sebutan metode substitusi.

Dalam menyelesaikan masalah integral tak tentu, masalah yang ada harus dibawa ke salah satu atau beberapa bentuk integrand yang telah dikenal. Dengan memasukkan atau mensubstitusi variabel baru yang tepat sehingga bentuk yang tadinya belum dikenal primitifnya berubah menjadi bentuk yang telah dikenal.

Diberikan fungsi f yang terdefinisi pada interval [a,b] dan fungsi g:[\alpha,\beta]\rightarrow [a,b] yang mempunyai invers g^{-1}. Jika g dan g^{-1} keduanya mempunyai derivatif yang kontinu masing-masing pada interval [\alpha,\beta] dan [a,b] serta f kontinu pada [a,b], maka:

  \begin{equation*} \int{f(x)}~dx=\int{f(g(t))g'(t)}~dt. \end{equation*}

Untuk membuktikan hal tersebut, maka cukup ditunjukkan bahwa derivatif kedua ruang terhadap x merupakan fungsi yang sama. Diperhatikan bahwa

  \begin{equation*} \frac{d}{dx}\int{f(x)}~dx=f(x). \end{equation*}

Sementara di lain pihak, diperoleh:

  \begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\int{f(g(t))g'(t)}~dt&=&\frac{d}{dt}\left(\int{f(g(t))g'(t)}~dt\right)\frac{dt}{dx}\\ &=& f(g(t))g'(t)\frac{1}{\frac{dx}{dt}}\\ &=&f(g(t))g'(t)\frac{1}{g'(t)}\\ &=&f(x). \end{eqnarray*}

Dengan demikian, terbukti bahwa

  \begin{equation*} \int{f(x)}~dx=\int{f(g(t))g'(t)}~dt. \end{equation*}

\blacksquare

 

Contoh.

  1. Akan ditentukan nilai integral tertentu dari \int{\cos kx}~dx, untuk suatu konstanta k.
    Penyelesaian:
    Diambil substitusi t=kx atau x=\frac{1}{k}t maka dx=\frac{1}{k}dt. Dengan demikian,

      \begin{eqnarray*} \int{\cos kx}~dx&=&\int{(\cos t)\frac{1}{k}}~dt\\ &=&\frac{1}{k}\int{\cos t}~dt\\ &=&\frac{1}{k}\sin t +C\\ &=&\frac{1}{k}\sin kx+C. \end{eqnarray*}

    Diperhatikan bahwa nilai \int{\cos t}~dt=\sin t+C merupakan bentuk intergal yang telah dikenal.

  2. Akan ditentukan nilai integral tertentu dari \int{(1-3x)^{8}}~dx.
    Penyelesaian:
    Dengan substitusi t=1-3x maka diperoleh dt=-3dx, sehingga diperoleh integrasi:

      \begin{eqnarray*} \int{(1-3x)^{8}}~dx&=&\int{t^{8}\left(-\frac{1}{3}\right)}~dt\\ &=&-\frac{1}{3}\int{t^{8}}~dt\\ &=&-\frac{1}{27}t^{9} +C\\ &=&-\frac{1}{27}(1-3x)^{8}+C. \end{eqnarray*}

    Diperhatikan bahwa nilai \int{t^{8}}~dt=\frac{1}{9}t^{9}+C merupakan bentuk integral yang telah dikenal.

  3. Tentukan \int{\frac{dx}{x\ln x}}.
    Penyelesaian:
    Disubstitusikan y=\ln x, sehingga diperoleh dy=\frac{dx}{x}. Akibatnya,

      \begin{eqnarray*} \int{\frac{dx}{x\ln x}}&=&\int{\frac{1}{y}}~dy\\ &=& \ln y+C \\ &=& \ln\ln x+C. \end{eqnarray*}


3. Contoh Soal

lContoh 1:

Hasil dari ∫(3�2−5�+4) ��=⋯

  1. �3−52�2+4�+�
  2. �3−5�2+4�+�
  3. 3�3−5�2+4�+�
  4. 6�3−5�2+4�+�
  5. 6�3−52�2+4�+�

Pembahasan:

Berdasarkan sifat dalam integral fungsi aljabar, diperoleh:

∫(3�2−5�+4) ��=3∫�2 ��−5∫� ��+∫4 ��=3⋅13�3−5⋅12�2+4�+�=�3−52�2+4�+�

Jawaban A.

Contoh 2:

Hasil dari ∫(2�3−9�2+4�−5) ��=⋯

  1. 12�4−6�3+2�2−5�+�
  2. 12�4−6�3+�2−5�+�
  3. 12�4−3�3+�2−5�+�
  4. 12�4−3�3+2�2−5�+�
  5. 12�4−6�3−2�2−5�+�

Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat-sifat dalam integral fungsi aljabar, diperoleh:

∫(2�3−9�2+4�−5) ��=∫2�3 ��−∫9�2 ��+∫4� ��−∫5 ��=24�4−93�3+42�2−5�+�=12�4−3�3+2�2−5�+�

Jawaban D.

Contoh 3:

Hasil dari ∫02�(3�+5) ��=⋯

  1. 18
  2. 16
  3. 15
  4. 10
  5. 6

Pembahasan:

Ingat bahwa ∫�����=��+1��+1+� sehingga:

∫02�(3�+5) ��=∫02(3�2+5�) ��=[33�3+52�2]02=[�3+52�2]02=[23+52(2)2]−[03+52(0)2]=18−0=18

Jawaban A.

Contoh 4:

Hasil dari ∫−12(6�2+8�) ��=⋯

  1. 24
  2. 26
  3. 28
  4. 30
  5. 32

Pembahasan:

Ingat bahwa ∫�����=��+1��+1+� sehingga:

∫−12(6�2+8�) ��=[63�3+82�2]−12=[2�3+4�2]−12=[2⋅23+4⋅22]−[2⋅(−1)3+4(−1)2]=32−2=30

Jawaban D.

Contoh 5: UN MTK IPA 2016

Hasil ∫2�(5−�)3 ��=⋯

  1. −110(4�+5)(5−�)4+�
  2. −110(6�+5)(5−�)4+�
  3. −110(�+5)(5−�)4+�
  4. 110(4�+5)(5−�)4+�
  5. 12(5+�)4+�

Pembahasan:

Misalkan �=5−� sehingga diperoleh:

�=5−�⇔�=5−�⇔����=−1⇔��=−��

Selanjutnya, substitusi hasil yang diperoleh di atas ke soal integral, diperoleh:

∫2�(5−�)3 ��=∫2(5−�)�3⋅(−1 ��)=−2∫(5�3−�4) ��=−2[54�4−15�5]+�=−52�4+25�5+�=−2510�4+410�5+�=−110(25−4�)�4+�=−110(25−4(5−�))(5−�)4+�=−110(4�+5)(5−�)4+�

Jawaban A.

Daftar Pustaka

https://www.defantri.com/2017/09/matematika-dasar-integral-fungsi.html

https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/integral-tak-tentu/amp/

https://kalkulus.mipa.ugm.ac.id/single/teknik-pengintegralan-metode-substitusi/

https://www.google.com/amp/s/www.detik.com/edu/detikpedia/d-5616363/contoh-soal-integral-tak-tentu-dan-pembahasannya/amp

https://jagostat.com/bahas-soal-matematika/contoh-soal-dan-pembahasan-integral-fungsi-aljabar

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Barisan dan Deret

-
Gambar
REGINA RATNA DEWITA KELAS: XI IPS 2 ----------------- ----------------- ----------------- A. Barisan dan Deret Aritmatika barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang memiliki beda yang sama sehingga menghasilkan pola tetap. Contoh bentuk barisan aritmatika bisa dilihat di bawah ini: Bentuk barisan aritmatika Nah, dari contoh di atas bisa dilihat bahwa suatu barisan aritmatika akan berbentuk seperti ini:  U 1 , U 1  +b, U 1  +2b, U 1  +3b, …… sampai n suku.  Suku pertama adalah  U 1   atau  a , selisihnya adalah  b,  dan  n  adalah jumlah suku.  Ada beberapa rumus yang terkait dengan barisan aritmatika yang bisa gunakan untuk menghitung suku ke-n, jumlah, atau cara mencari beda (b) dari suatu barisan aritmatika. Rumus barisan aritmatika bisa dilihat di bawah ini: Rumus barisan aritmatika U n  = suku ke-n U 1  = a = suku pertama (ke-1) dalam barisan aritmatika  b = beda n = suku ke- Nah, setelah memahami cara mencari suku ke-n dalam suatu barisan aritmatika, elo juga bisa mencari b
Baca selengkapnya

Program Linear

-
Gambar
NAMA : REGINA RATNA DEWITA XI IPS 2 ABSEN : 24   PROGRAM LINEAR Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Konsep persamaan dan sistem persamaan linear dua variabel sudah kamu pelajari. Prinsip yang ada pada sistem persamaan juga kita gunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan atau sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Prinsip yang dimaksud adalah menentukan nilai variabel yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear tersebut. Definisi Pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan yang berbentuk ax  +  by  +  c  < 0 ax  +  by  +  c  ≤ 0 ax  +  by  +  c  > 0 ax  +  by  +  c  ≥ 0 dengan: a, b  : koefisien ( a  ≠ 0 , b  ≠ 0 , a,b  ∈  R ) c  : konstanta ( c  ∈  R ) x, y  : variabel ( x, y  ∈  R ) Contoh Tentukan himpunan penyelesaian dan gambarkan grafik untuk setiap pertidaksamaan di bawah ini.  –2 x  +  y  > 5, untuk  x  dan  y  semua bilangan real Alternatif Penyelesaian Dengan menguji nilai-nilai  x  dan  y  yang memenuhi – 2 x  +  y  > 5 , maka dapat ditemukan banyak
Baca selengkapnya